一、等比數(shù)列的定義

等比數(shù)列是指一個公比為1的等比數(shù)列項構(gòu)成的數(shù)列。這個公比稱為等比數(shù)列的公比,而每個項稱為等比數(shù)列的項。等比數(shù)列的通項公式為 an=a1*q^(n-1),其中 n 表示數(shù)列的項數(shù)。

二、等比數(shù)列的性質(zhì)

等比數(shù)列具有以下性質(zhì):

1. 等比數(shù)列的公比為1,即 a1=a2=a3=...=a(n-1)。

2. 等比數(shù)列的首項為 a1,公比為1,求和公式為 an=a1*q^(n-1)。

3. 等比數(shù)列的每一項都是等比數(shù)列的項,即 an=a1*q^(n-1)。

4. 等比數(shù)列的每一項都是非負(fù)數(shù),即 an>0。

5. 等比數(shù)列的和為無窮大,即 an+a(n-1)+a(n-2)+...+a1=a0=a1*q^(n-1),即 an=a1*q^(n-1)。

三、等比數(shù)列的求和公式推導(dǎo)

要推導(dǎo)等比數(shù)列的求和公式,我們需要先求出等比數(shù)列的前幾項。

設(shè)等比數(shù)列的首項為 a1,公比為 r,則有 a1=a1*r^(1-1/r)。

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì) 2,a2=a1*(1+r)/(1-r),a3=a1*(1+r)^2/(1-r)^2,a4=a1*(1+r)^3/(1-r)^3。

將 a2、a3、a4 帶入 an=a1*q^(n-1) 中,有:

an=a1*(1+r)/(1-r)*(1+r^2)/(1-r^2)*(1+r^3)/(1-r^3)=a1*(1+r^2+r^4+r^6+...)/(1-r^2-r^4+r^6+...)=a1*q^(n-1)*(1+r^2+r^4+r^6+...)/(1-r^2-r^4+r^6+...)=a1*q^(n-1)*r^(n-1)/(1-r^n)

因此,等比數(shù)列的前幾項為:a1,a1*r^(1-1/r),a1*r^(2-1/r),a1*r^(3-1/r),...,a1,a1*r^(n-1-1/r),a1*r^(n-1-2/r),...,a1。

將 a1 替換為 a0,有:

an=a0*q^(n-1)

四、等比數(shù)列的通項公式

等比數(shù)列的通項公式為 an=a1*q^(n-1),其中 n 表示數(shù)列的項數(shù)。

我們可以利用等比數(shù)列的前幾項推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項公式。

根據(jù)前面的推導(dǎo),有 a1=a0*r^(1-1/r),a2=a0*r^(2-1/r),a3=a0*r^(3-1/r),...,a1,a1*r^(n-1),a1*r^(n-2),...,a1。

將 a1 替換為 a0,有:

an=a0*q^(n-1)=a0*r^(n-1)*(1+r)/(1-r)=a0*r^(n-1)*(1+r^2+r^4+r^6+...)/(1-r^2-r^4+r^6+...)=a0*r^(n-1)*(1+r^2+r^4+r^6+...)/(1-r^n)

因此,等比數(shù)列的通項公式為 an=a0*q^(n-1)

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