設等比數(shù)列的首項為 $a_1$,公比為 $r$,則該等比數(shù)列的后一項為 $a_n$,公差為 $d$。等差數(shù)列的首項為 $a_1$,公差為 $d$,則該等差數(shù)列的后一項為 $a_n$,公比為 $r$。

接下來,我們分別討論等比數(shù)列乘等差數(shù)列和等比乘以等差的倒數(shù)求和的計算方法。

等比數(shù)列乘等差數(shù)列的前n項求和

設等比數(shù)列乘等差數(shù)列的首項為 $a_1$,公比為 $r$,公差為 $d$,首項乘積為 $c_1$,后一項乘積為 $c_n$。則該等比數(shù)列乘等差數(shù)列的前n項求和為:

$$

begin{aligned}

S &= a_1cdot c_1 + a_1cdot c_2 + cdots + a_1cdot c_n \

&= a_1cdot(1 + c_1 + cdots + c_n) \

&= a_1cdot n! \

&= a_1cdot frac{(a_1+a_n)!}{a_1!,(a_1+a_n)!} \

&= a_1^n cdot frac{(a_1+a_n)!}{a_1!,(a_1+a_n)!} \

&= a_1^n cdot frac{(a_1+a_n)(a_2+a_3+cdots+a_n)}{a_1!,(a_1+a_n)!} \

&= a_1^n cdot frac{(1+r)^n}{r!,(1+r)^n} \

&= (a_1+r)^n cdot frac{1}{r!,(1+r)^n} \

&= (a_1+r)^n cdot frac{1}{1!,(1+r)^n} \

&= (a_1+r)^n cdot frac{(1+r)^{n-1}}{(n-1)!} \

&= (a_1+r)^n cdot frac{(1+r)^n}{n!} \

&= S_1

end{aligned}

$$

其中,第一行表示等比數(shù)列乘等差數(shù)列的首項,第二行表示等比數(shù)列乘等差數(shù)列的后一項,第三行表示該等比數(shù)列乘等差數(shù)列的前n項求和,第四行表示等比數(shù)列乘等差數(shù)列的后一項乘積。

接下來,我們討論等比乘以等差的倒數(shù)求和的計算方法。

等比乘以等差的倒數(shù)求和

設等比數(shù)列的首項為 $a_1$,公比為 $r$,公差為 $d$,首項乘積為 $c_1$,后一項乘積為 $c_n$,則該等比數(shù)列乘以等差數(shù)列乘以倒數(shù)的求和為:

$$

begin{aligned}

S &= c_1cdot c_n \

&= (a_1+d)cdot (c_1cdot c_n + (-1)^{n+1}cdot c_ncdot c_1) \

&= (a_1+d)cdot ((1+r)cdot c_1cdot c_n + (-1)^{n+1}cdot c_ncdot (1+r)cdot c_1) \

&= (a_1+d)cdot (c_1cdot (1+r)cdot c_n + (-1)^{n+1}cdot c_ncdot (1+r)cdot c_1) \

&= (a_1+d)cdot (c_1cdot (1+r)^n + (-1)^{n+1}cdot c_ncdot (1+r)^n) \

&= (a_1+d)cdot frac{(1+r)^ncdot (1+r)^{n-1}}{(n-1)!} \

&= (a_1+d)cdot frac{(1+r)^n}{n!} \

&= S_2

end{aligned}

$$

其中,第一行表示等比數(shù)列乘以等差數(shù)列乘以倒數(shù)的首項,第二行表示等比數(shù)列乘以等差數(shù)列乘以倒數(shù)的后一項,第三行表示該等比數(shù)列乘以等差數(shù)列乘以倒數(shù)的前n項求和,第四行表示等比數(shù)列乘以等差數(shù)列乘以倒數(shù)的后一項乘積。

綜上所述,等比數(shù)列乘等差數(shù)列的前n項求和-等比乘以等差的倒數(shù)求和的計算方法為:先計算等比數(shù)列乘等差數(shù)列的前n項求和,再計算等比數(shù)列乘等差數(shù)列乘以倒數(shù)的求和,最后計算等比乘以等差的倒數(shù)求和。

以上就是【大部分人都弄錯！等比數(shù)列乘等差數(shù)列的前n項求和-等比乘以等差的倒數(shù)求和】的全部內(nèi)容。

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